Friedrich Ludwig Gottlob Frege (8 Nov 1848 - 26 Jul 1925) is a German mathematician and philosopher, the founder of modern Logic.
The attempt to rationalize mathematics begins with Frege, who believed that arithmetic and geometrical propositions constitute a priori analytical knowledge. Although he received his first mathematical education in geometry, he soon turned to Logic. His work Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (The Shape of Concepts: A Standard Language for Pure Modeling on the Language of Arithmetic), Halle a / S: Verlag von Louis Nebert, 1879 was a turning point in the history of logic. Begriffsschrift has opened new horizons in the way it handles functions and variables.
His purpose was to show that mathematics derives from logic, and so he invented techniques that carried him away from Aristotelian reasoning and Stoic propositional logic, which were the legacy of Logic's tradition.
Ελληνική εκδοχή
O Friedrich Ludwig Gottlob Frege (8 Νοε 1848 - 26 Ιουλ.1925) είναι Γερμανός μαθηματικός και φιλόσοφος, ο θεμελιωτής της σύγχρονης Λογικής.
Η προσπάθεια λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών ξεκινά με τον Frege, ο οποίος πίστευε ότι οι αριθμητικές και γεωμετρικές προτάσεις αποτελούν a priori αναλυτική γνώση. Παρότι η εκπαίδευση που πήρε και το πρώτο του μαθηματικό έργο αφορούσε τη γεωμετρία, σύντομα αυτός στράφηκε στη Λογική. Το έργο του
Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens’ (Το Σχήμα των Εννοιών: Μια Τυπική Γλώσσα για Καθαρή Σκέψη Μοντελοποιημένη πάνω στη Γλώσσα της Αριθμητικής), Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 αποτέλεσε σημείο καμπής στην ιστορία της λογικής. Το Begriffsschrift άνοιξε νέους ορίζοντες με τον τρόπο που χειρίζεται τις συναρτήσεις (functions) και τις μεταβλητές (variables). Σκοπός του ήταν να δείξει ότι τα μαθηματικά προκύπτουν από τη λογική, και έτσι εφηύρε τεχνικές που τον έφεραν μακράν της Αριστοτελικής συλλογιστικής και της Στωικής προτασιακής λογικής, που αποτελούσαν την κληρονομιά της παράδοσης της Λογικής.
Πριν από τον Frege οι εμπειριστές θεωρούσαν τα μαθηματικά a posteriori γνώση, δηλαδή γνώση η οποία προκύπτει αφαιρετικά a posteriori (μετά από) την εμπειρία, κάνοντας αφαίρεση από παρόμοιες εμπειρικές παραστάσεις και καταλήγοντας έτσι σε αφαιρετικές έννοιες (όρους), από τις οποίες δομούνται οι προτάσεις. Για τους εμπειριστές δηλαδή είναι αδύνατο να αποκτήσουμε την έννοια της ευθείας αν δεν έχουμε προηγουμένως δει μακρές ευθείες γραμμές της φύσης, ούτε μπορούμε να σχηματίσουμε τις έννοιες των φυσικών αριθμών αν δεν έχουμε την εμπειρία του πλήθους διαφόρων συλλογών αντικειμένων. Στη συνέχεια ο Kant θεώρησε ότι προϋπόθεση των μαθηματικών εννοιών και προτάσεων δεν είναι η εμπειρία αλλά οι καθαρές εποπτείες του χώρου και του χρόνου, χαρακτηριστικά του ανθρώπινου νου. Ο άνθρωπος δηλαδή μέσα από νοητικές διεργασίες οδηγείται από κάποιες αρχικές αποδεκτές ως αληθείς θέσεις στην αλήθεια νέων σύνθετων αριθμητικών ή γεωμετρικών προτάσεων. Τη γνώση που προκύπτει από αυτή τη διαδικασία, η οποία δεν προϋποθέτει την εμπειρία αλλά τη φύση του νου, την ονομάζει ο Kant a priori (εκ των προτέρων), δηλαδή πριν από την εμπειρία αλλά συνθετική, καθώς απαιτείται η συνθετική δράση του ανθρώπινου νου. Οπότε ο Kant θεωρεί τις μαθηματικές πρoτάσεις a priori συνθετικές.
Ο Frege δεν δέχεται ούτε τη μία ούτε την άλλη άποψη, συντασσόμενος με την πυθαγόρεια και την πλατωνική άποψη, ότι οι αριθμητικές και γεωμετρικές αλήθειες είναι ανεξάρτητες τόσο του ανθρώπινου νου όσο και της ανθρώπινης εμπειρίας, και ότι ο άνθρωπος μπορεί να τις προσεγγίσει μέσω της λογικής (ορθού λόγου). Όλες οι μαθηματικές προτάσεις μπορούν να θεμελιωθούν πάνω σε κάποιες βασικές έννοιες και κάποιες πανθομολογουμένως αληθείς προτάσεις, από τις οποίες προκύπτουν μέσω διαδοχικών λογικών συνεπαγωγών. Το βασικό του έργο ήταν να δείξει το πώς τα μαθηματικά συνολικά, κατά κύριο λόγο τα βασικά μαθηματικά στοιχεία, οι φυσικοί αριθμοί, θεμελιώνονται πάνω στις στοιχειώδεις λογικές μονάδες της έννοιας και της συλλογής (συνόλου) πραγμάτων.
Ο Frege εξέφρασε μαθηματικά την έννοια ως μια ανολοκλήρωτη λογική συνάρτηση (συνάρτηση χωρίς όρισμα), η οποία ολοκληρώνεται με την προσθήκη κάποιου αντικειμένου που καθιστά τη συνάρτηση αληθή ή ψευδή πρόταση. Για παράδειγμα η έννοια δορυφόρος της Γης ορίζεται ως μια συνάρτηση earth_satellite(.), η οποία ολοκληρώνεται προσθέτοντας κάποιο αντικείμενο. Το μοναδικό αντικείμενο που ικανοποιεί αυτή τη συνάρτηση και την καθιστά αληθή πρόταση είναι η Σελήνη. Με τον τρόπο αυτό η κατηγορική πρόταση η Σελήνη είναι δορυφόρος της Γης ισοδυναμεί με την πλήρη συνάρτηση earth_satelite (Moon).
Στη συνέχεια επαναπροσδιόρισε τις έννοιες ως τα σύνολα τιμών των αντίστοιχων συναρτήσεων (τα σύνολα που έχουν ως μέλη τα αντικείμενα που ικανοποιούν τις συναρτήσεις) και τους φυσικούς αριθμούς ως πληθυκότητες συνόλων τιμών συναρτήσεων. Για παράδειγμα το 0 είναι η πληθυκότητα του συνόλου τιμών της συνάρτησης ο σημερινός βασιλιάς της Γαλλίας, το 1 η πληθυκότητα του συνόλου τιμών της συνάρτησης δορυφόρος της Γης κλπ.
Αργότερα προτείνει έναν ακριβέστερο ορισμό του αριθμού:
Αριθμός μιας έννοιας F είναι το σύνολο όλων των εννοιών που είναι ισοπληθικές με την F.
Εφόσον όμως η έννοια κατά τον Frege είναι ένα σύνολο τιμών, ο φυσικός αριθμός γίνεται έτσι ένα σύνολο συνόλων, το σύνολο που έχει ως μέλος το σύνολο τιμών της F, καθώς και όλα τα σύνολα τιμών όλων των άλλων εννοιών που είναι ισοπληθικές με την F. Έτσι ο αριθμός, η βασικότερη έννοια των μαθηματικών, ορίζεται μέσω του συνόλου και πιο συγκεκριμένα ενός συνόλου συνόλων, το καθένα από τα οποία περιέχει ως μέλη τα στοιχεία που ικανοποιούν (κάνουν αληθή) μια συνάρτηση.
Και ενώ το σχέδιο του Frege φαινόταν ότι είχε στεφθεί με επιτυχία, λίγο πριν την έκδοση του Vol. 2 του Grundgesetze, εμφανίστηκε ο νεαρός Bertrand Russell (1872-1970), ο οποίος μέσω της παρουσίασης ενός συνόλου του οποίου στοιχεία είναι σύνολα που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα οδηγεί σε μια αντίφαση, κάνοντας έτσι την έννοια του συνόλου αυτοαναιρούμενη και συνεπώς ακατάλληλη για τη λογική θεμελίωση των μαθηματικών. Το παράδοξο αυτό έμεινε στην ιστορία της φιλοσοφίας ως παράδοξο του Russell.
