Augustus De Morgan (27 June 1806 - 18 March 1871) was one of the leading British mathematicians and logicians of the 19th century, born in India. He formulated the famous Laws of Proposition Calculus named after him and essentially introduced the idea of mathematical induction.
De Morgan's Basic Laws, are of the first things students learn about Proposal Calculus:
The denial of the disjunction of two sentences p and q is the conjunction of not p and not q.
The denial of the conjunction of two sentences p and q is the disjuntion of not p and not q.
Ελληνική εκδοχή
Ο Augustus De Morgan (27 June 1806 – 18 March 1871) ήταν ένας από τους κύριους Βρετανούς μαθηματικούς και λογικιστές του 19ου αιώνα, που γεννήθηκε στην Ινδία. Διατύπωσε τους περίφημους νόμους του Προτασιακού Λογισμού που φέρουν ο όνομά του και εισήγαγε ουσιαστικά την ιδέα της μαθηματικής επαγωγής (mathematical induction).
Η αλληλογραφία του De Morgan με τον Ιρλανδό μαθηματικό William Rowan Hamilton υπερέβη τα 24 χρόνια, όπου περιέχονται συζητήσεις όχι μόνο πάνω σε μαθηματικά ζητήματα αλλά και σε θέματα γενικού ενδιαφέροντος. Χαρακτηρίζεται από εγκαρδιότητα από την πλευρά του Hamilton και από χιούμορ από την πλευρά του De Morgan. Όπως το παρακάτω:
Ο Hamilton έγραψε: Το αντίγραφό μου του έργου του Berkeley δεν είναι δικό μου. Όπως και ο Berkeley, ξέρεις, είμαι Ιρλανδός.
Ο De Morgan απάντησε: Η φράση ‘το αντίγραφό μου δεν είναι δικό μου’ δεν είναι ανοησία. Είναι απολύτως σωστά Αγγλικά ώστε να χρησιμοποιείς την ίδια λέξη με δυο διαφορετικές σημασίες στην ίδια πρόταση, ειδικά όταν γίνεται τέτοια χρήση. Αλλά η ασυνέπεια των ιδεών (όπως στην περίπτωση του Ιρλανδού που τραβούσε το σχοινί και βλέποντας ότι δεν τελειώνει φώναξε ότι κάποιος είχε κόψει το άλλο άκρο του σχοινιού) είναι μια ευφυής ανοησία.
Μισούσε τις επαρχίες εκτός του Λονδίνου, και όσο η οικογένειά του διασκέδαζε στην παραλία και οι άνθρωποι της επιστήμης περνούσαν καλά σε μια συνάντηση της British Association στη χώρα, αυτός παρέμενε στις ζεστές και υγρές βιβλιοθήκες της μητρόπολης. Έλεγε ότι αισθανόταν σαν τον Σωκράτη που δήλωνε ότι όσο μακρύτερα βρισκόταν από την Αθήνα τόσο μακρύτερα βρισκόταν από την ευτυχία. Ποτέ δεν επεδίωξε να γίνει Μέλος της Royal Society, και ποτέ δεν συμμετείχε σε συνάντηση της Society. Έλεγε ότι δεν είχε κοινές ιδέες και συμπάθειες με τους φυσικούς φιλόσοφους. Η στάση του αυτή ίσως οφείλετο στη φυσική του αδυναμία, που τον εμπόδιζε να είναι είτε παρατηρητής είτε πειραματιστής. Ποτέ δεν ψήφισε στις εκλογές, και ποτέ δεν επισκέφθηκε το Κοινοβούλιο, τον Πύργο του Λονδίνου ή το Westminster Abbey.
Η θεωρία του De Morgan εκτίθεται στον τόμο On Trigonometry and Double Algebra, όπου στο Βιβλίο II, Chapter II, υπό τον τίτλο On symbolic algebra, γράφει:
Εγκαταλείποντας τη σημασία των συμβόλων, εγκαταλείπουμε και τη σημασία των λέξεων που τα περιγράφουν. Έτσι η πρόσθεση θα είναι προς το παρόν ένας ήχος χωρίς νόημα. Είναι ένας τρόπος συνδυασμού που αναπαρίσταται από το +. Όταν το + πάρει νόημα τότε θα πάρει νόημα και η λέξη πρόσθεση. Είναι πολύ σημαντικό να έχει ο σπουδαστής κατά νουν ότι, με μία εξαίρεση, καμία λέξη ή σημείο της αριθμητικής ή της άλγεβρας δεν έχει αποκλειστικά ένα μόνο άτομο νοήματος σε όλο το κεφάλαιο, το αντικείμενο του οποίου είναι τα σύμβολα και οι νόμοι συνδυασμού τους, συγκροτώντας μια συμβολική άλγεβρα που στη συνέχεια μπορεί να γίνει γραμματική μιας εκατοντάδας διακεκριμένων σημασιολογικά αλγεβρών. Αν κάποιος πρόκειται να θεωρήσει ότι το + και το – μπορούν να σημαίνουν επιβράβευση και τιμωρία και τα A, B, C, etc. μπορούν να σταθούν ως αρετές και κακίες, ο αναγνώστης μπορεί να τον πιστέψει ή να τον απορρίψει όπως επιθυμεί – αλλά όχι εκτός του πλαισίου του κεφαλαίου.
Η μόνη εξαίρεση που αναφέρθηκε παραπάνω, η οποία έχει κάποια κοινότητα σημασίας, είναι το σήμα = τοποθετημένο μεταξύ δυο συμβόλων, όπως στην έκφραση A=B. Η έκφραση αυτή δείχνει ότι τα δυο σύμβολα έχουν το ίδιο νόημα που προκύπτει, από όποια διαφορετικά βήματα και να επιτελεστεί. Αυτά τα A και B, αν είναι ποσότητες, σημαίνει ότι έχουν το ίδιο μέγεθος ποσότητας, αν είναι λειτουργίες, ότι έχουν το ίδιο αποτέλεσμα κλπ.
Με την αναβίωση των μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Cambridge, συμβαίνει και η αναβίωση της λογικής. Το κινητοποιούν πνεύμα ήταν ο Whewell, Master του Trinity College, του οποίου τα κύρια γραπτά ήταν το History of the Inductive Sciences, και το Philosophy of the Inductive Sciences. Αναμφίβολα ο De Morgan είχε επηρεαστεί στις αναζητήσεις του στον χώρο της λογικής από τον Whewell, αλλά άλλοι σύγχρονοι και ιδιαίτερα επιδραστικοί σημαντικότατοι επιστήμονες ήταν ο Sir William Rowan Hamilton στο Δουβλίνο, και ο George Boole στο Cork.
Το έργο του De Morgan, Formal Logic, εκδοθέν το 1847, είναι αξιοσημείωτο για την εισαγωγή της αριθμητικής ποσότητας στους συλλογισμούς. Οι συνεχιστές του Αριστοτέλη λένε ότι από δυο συγκεκριμένες προτάσεις όπως κάποια Μ είναι Α και κάποια Μ είναι Β δεν προκύπτει αναγκαία τίποτα για τη σχέση των Α και Β. Μάλιστα υπήρχε ο κανόνας ότι για να προκύψει αναγκαία σχέση μεταξύ των Α και Β θα πρέπει ο μεσαίος όρος Μ να τίθεται καθολικά σε μια τουλάχιστον από τις προκείμενες προτάσεις. Ο De Morgan σημείωσε ότι από τις δυο προτάσεις τα περισσότερα Μ είναι Α και τα περισσότερα Μ είναι Β προκύπτει ότι αναγκαία κάποια Α είναι Β, και διατύπωσε τον αριθμητικά ορισμένο συλλογισμό (numerically definite syllogism) σε ακριβή ποσοτική μορφή:
Έστω ότι ο αριθμός των Μ είναι m, ο αριθμός των Μ που είναι Α είναι a και ο αριθμός των Μ που είναι Β είναι b, τότε υπάρχουν τουλάχιστον (a+b-m) A που είναι B. Έστω ότι ο αριθμός των ψυχών ενός ατμόπλοιου ήταν 1000, από τους οποίους 500 ήταν στο σαλόνι και 700 χάθηκαν. Προκύπτει αναγκαία ότι τουλάχιστον (700 + 500 – 1000)=200 επιβάτες του σαλονιού χάθηκαν. Αυτή η απλή ποσοτική αρχή αρκεί για την απόδειξη όλων των ποιοτικής μορφής Αριστοτελικών τύπων συλλογισμού. Είναι συνεπώς μια θεμελιώδης αρχή της αναγκαίας συλλογιστικής.
Αυτή ήταν η τεράστια πρόοδος που έφερε στους συλλογιστικού κανόνες ο De Morgan εισάγοντας ποσότητες στους όρους του συλλογισμού. Την ίδια περίοδο ο Sir William Hamilton (ο λογικιστής όχι ο ομώνυμος μεγάλος μαθηματικός) δίδασκε στο Εδιμβούργο μια αρχή ποσοτικοποίησης του κατηγορήματος, οπότε ξεκίνησε μια αλληλογραφία μεταξύ τους. Εν τούτοις ο De Morgan σύντομα αντιλήφθηκε ότι η ποσοτικοποίηση του Hamilton ήταν ενός διαφορετικού χαρακτήρα. Ο Hamilton είχε αντικαταστήσει την Αριστοτελική πρόταση All A's are B's με τις προτάσεις The whole of A is the whole of B, και The whole of A is a part of B. Ο Hamilton θεωρούσε ότι είχε βρει τον θεμέλιο λίθο της Αριστοτελικής αψίδας, όπως ο ίδιος το διατύπωσε. Βέβαια πολλοί του απάντησαν ότι επρόκειτο για μια παράξενη αψίδα που κράτησε επί 2000 χρόνια χωρίς θεμέλιο λίθο. Λόγω της ισχύος του Hamilton δεν υπήρχε χώρος για τις καινοτομίες του De Morgan. Μάλιστα ο Hamilton κατηγόρησε τον De Morgan για υποκλοπή των ιδεών του και η διαμάχη κράτησε για πολλά χρόνια, αναμεταδιδόμενη στις στήλες του Athenæum, και στις εκδόσεις και των δυο ανδρών.
Οι βασικοί νόμοι του De Morgan, από τα πρώτα πράγματα που μαθαίνουν οι σπουδαστές του Προτασιακού Λογισμού είναι:
Η άρνηση της διάζευξης δυο προτάσεων p και q είναι η σύζευξη των not p και not q.
Η άρνηση της σύζευξης δυο προτάσεων p και q είναι η διάζευξη των not p και not q.
