Niels Henrik Abel (5 August 1802 - 6 April 1829) was a Norwegian mathematician with pioneering contributions to a wide variety of fields. This is a typical case of a wonderful scientist the importance of whose work was not recognised during his short life. Consequently, much of his work being was thrown or overlooked.
His best known achievement is the first comprehensive proof of the inability to solve the 5th degree general equation. This problem has been one of the dominant open problems of its time and remainεδ unresolved for over 250 years. He was also very innovative in the field of elliptic functions, and of course the one who discovered the so-called Abelian functions . He made his discoveries while in extreme poverty and died at the age of 26 from tuberculosis.
Ελληνική εκδοχή
Ο Niels Henrik Abel (5 August 1802 – 6 April 1829) ήταν Νορβηγός μαθηματικός με πρωτοποριακές συνεισφορές σε μια μεγάλη ποικιλία πεδίων. Είναι η χαρακτηριστική περίπτωση θαυμαστού επιστήμονα που δεν αντιλήφθηκαν τη σημασία του έργου του οι συνάδελφοί του κατά τη διάρκεια του σύντομου βίου του, με αποτέλεσμα μεγάλο μέρος του έργου του να παραπεταχθεί και να αγνοηθεί.
Το πιο γνωστό του επίτευγμα είναι η πρώτη ολοκληρωμένη απόδειξη που δείχνει τη μη δυνατότητα επίλυσης της γενικής εξίσωσης 5ου βαθμού. Αυτό το πρόβλημα ήταν ένα από τα κυρίαρχα ανοικτά προβλήματα του καιρού του και παρέμεινε άλυτο για περισσότερα από 250 χρόνια. Ήταν επίσης πολύ καινοτόμος στο πεδίο των ελλειπτικών συναρτήσεων, και βέβαια αυτός που ανακάλυψε τις λεγόμενες Αβελιανές συναρτήσεις (Abelian functions). Έκανε τις ανακαλύψεις του ενώ ζούσε σε απόλυτη ένδεια και πέθανε στα 26 του από φυματίωση.
Το περισσότερο έργο του παρήχθη στα 6 με 7 χρόνια του παραγωγικού μέρους της ζωής του. Σχετικά με τον Abel, ο Γάλλος μαθηματικός Charles Hermite είπε: «Ο Abel άφησε τους μαθηματικούς απασχολημένους για τα επόμενα 500 χρόνια». Ένας άλλος εξέχων Γάλλος μαθηματικός, ο Adrien-Marie Legendre, είπε: "quelle tête celle du jeune Norvégien!" (τι κεφάλι έχει αυτός ο νεαρός Νορβηγός!) Το Βραβείο Abel στα μαθηματικά, που προτάθηκε από το 1899 συμπληρωματικά με τα Βραβεία Nobel, φέρει το όνομά του.
Ο Abel έδειξε ότι δεν υπάρχει γενική αλγεβρική λύση για τις ρίζες μιας εξίσωσης 5ου βαθμού, ή κάθε γενικής πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού μεγαλύτερου του 4, μέσω σαφών αλγεβρικών πράξεων. Για να το αποδείξει αυτό, εφηύρε (ανεξάρτητα από τον Galois) ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, γνωστό ως θεωρία ομάδων (group theory), που είναι πολύτιμος όχι μόνο σε πολλές περιοχές των μαθηματικών αλλά και για πολλά ζητήματα της φυσικής. Ο Abel έστειλε ένα άρθρο του για την μη επιλυσιμότητα των εξισώσεων 5ου βαθμού στον Carl Friedrich Gauss, ο οποίος το πέταξε χωρίς καν να το δει, θεωρώντας το ως την άχρηστη δουλειά ενός παλαβού.
Στα 16 του, ο Abel έδωσε μια ισχυρή απόδειξη του διωνυμικού θεωρήματος που να ισχύει για όλους τους αριθμούς, επεκτείνοντας το αποτέλεσμα του Euler που αφορούσε μόνο τους ρητούς. Ο Abel έγραψε ένα θεμελιακό έργο για τη θεωρία των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, περιλαμβάνοντας και τα θεμέλια της θεωρίας των ελλειπτικών συναρτήσεων. Κατά το ταξίδι του προς το Παρίσι εξέδωσε ένα άρθρο που αποκαλύπτει την διπλή περιοδικότητα των ελλειπτικών συναρτήσεων, που ο Legendre χαρακτήρισε ως μνημειώδες για τα μαθηματικά. Εν τούτοις το εξαιρετικό αυτό άρθρο παραπετάχθηκε ως ασήμαντο από τον μεγάλο μαθηματικό Cauchy.
Όσο ήταν ο Abel στο εξωτερικό έστειλε το μεγαλύτερο μέρος της δουλειά του στο Crelle's Journal του Βερολίνου, αλλά είχε κρατήσει ως το σημαντικότερο κομμάτι, ένα θεώρημα για την πρόσθεση αλγεβρικών διαφορετικών για την Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, αλλά το θεώρημα μπήκε στο αρχείο ως μη σημαντικό και ξεχάστηκε μέχρι τον θάνατό του. Όσο ήταν στο Freiberg, ο Abel έκανε σημαντική έρευνα στη θεωρία των συναρτήσεων, ειδικά των ελλειπιτκών (elliptic), των υπερελλειπτικών (hyperelliptic), καθώς και μιας νέας κατηγορίας συναρτήσεων, που τώρα φέρουν το όνομά του, των λεγόμενων αβελιανών συναρτήσεων (abelian functions).
Το 1823 ο Abel έγραψε ένα άρθρο υπό τον τίτλο μια γενική αναπαράσταση της πιθανότητας ολοκλήρωσης όλων των διαφορικών τύπων. Έβαλε ο ίδιος τα χρήματα στο πανεπιστήμιο για να το εκδώσει. Εν τούτοις, το άρθρο, αν και πληρωμένο, χάθηκε κατά τη διαδικασία της κρίσης και δεν ξαναβρέθηκε ποτέ.
