John von Neumann (December 28, 1903 - February 8, 1957) was a Hungarian-American mathematician, physicist, computer scientist, and generally polymath. Von Neumann was considered the greatest mathematician of his time and is often referred to as 'the last representative of great mathematics, who combined pure and applied sciences'.
He contributed significantly to a number of fields including mathematics (mathematical foundations, functional analysis, ergonomic theory, representation theory, algebras, geometry, topology and arithmetic analysis), physics (quantum mechanics), in economics (game theory), in computer science (Von Neumann architecture, linear programming, self-replicating machines, stochastic computing), and statistics
He pioneered the application of operator theory to quantum mechanics, the development of functional analysis, and was central to the development of game theory .
With his contribution, the system of set-theory avoids the contradictions of previous systems, and has proved useful as a mathematical foundation, despite lack of proof of its consistency. ) . von Neumann contacted Gödel to announce an interesting consequence of his theorem, which he had proved: that ordinary axiomatic systems cannot prove their own consistency. But Gödel had already discovered the consequence of his first theorem, now known as the second theorem of incompleteness .
Von Neumann was the first to establish a rigorous mathematical framework for quantum mechanics, known as the Dirac – von Neumann axioms, in his 1932 work: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics . In this way, quantum mechanics physics was reduced to the mathematics of space and linear operators acting on them. For example, the principle of indeterminacy, according to which the positioning of a particle prevents its momentum from being determined and vice versa, translates into the non-commutability of the two irrelevant operators. The new mathematical standardization had such power and completeness that it included the specializations of both Heisenberg and Schrödinger as special cases.
This abstract mathematical treatment by Von Neumann of quantum reality also allowed him to address the fundamental question of determinism-predetermination against non determinism-uncertainty, and in his book he proves that quantum mechanics's statistical results cannot averages of some underlying set of hidden variables , as in the case of classical statistical engineering.
Ελληνική εκδοχή
Ο John von Neumann (December 28, 1903 – February 8, 1957) ήταν Ούγγρο-αμερικανός μαθηματικός, φυσικός, επιστήμων υπολογιστών και γενικότερα πολυμαθής. Ο Von Neumann θεωρείτο ο πιο σπουδαίος μαθηματικός του καιρού του και συχνά αναφέρεται ως ‘ο τελευταίος εκπρόσωπος των μεγάλων μαθηματικών, που συνδύαζαν τις καθαρές με τις εφαρμοσμένες επιστήμες’.
Συνεισέφερε σημαντικά σε ένα αριθμός πεδίων, μεταξύ των οποίων στα μαθηματικά (θεμελίωση των μαθηματικών, συναρτησιακή ανάλυση, εργοδική θεωρία, θεωρία αναπαράστασης, τελεστικές άλγεβρες/ operator algebras, γεωμετρία, τοπολογία και αριθμητική ανάλυση), στη φυσική (κβαντομηχανική, υδροδυναμική και κβαντική στατιστική μηχανική), στα οικονομικά (θεωρία παιγνίων), στην επιστήμη υπολογιστών (αρχιτεκτονική Von Neumann, γραμμικός προγραμματισμός/ linear programming, στις αυτό-αντιγραφόμενες μηχανές/ self-replicating machines, στοχαστικό υπολογισμό/ stochastic computing), και στην στατιστική (statistics).
Ήταν πρωτοπόρος στην εφαρμογή της θεωρίας τελεστών (operator theory) στην κβαντομηχανική, στην ανάπτυξη της συναρτησιακής ανάλυσης, και ήταν κεντρική μορφή στην ανάπτυξη της θεωρίας παιγνίων.
Η τελευταία του εργασία, ένα ημιτελές χειρόγραφο όσο ήταν στο νοσοκομείο, που τελικά εκδόθηκε μετά θάνατον υπό τον τίτλο: The Computer and the Brain. Η ανάλυσή του για τη δομή της αυτό-αντιγραφής (self-replication) ήταν προπομπός της ανακάλυψης της δομής του DNA.
Η αξιωματικοποίηση των μαθηματικών, πάνω στο μοντέλο των Στοιχείων του Ευκλείδη, είχε αποκτήσει νέο σφρίγος κατά το τέλος του 19ου αιώνα, ειδικά για την αριθμητική, χάρη στο αξιωματικό σχήμα των Richard Dedekind και Charles Sanders Peirce, και σια τη γεωμετρία χάρη στα αξιώματα του Hilbert. Αλλά στις αρχές του 20ου αιώνα, οι προσπάθειες για εδραίωση των μαθηματικών στη θεωρία των συνόλων υπέφερε από ένα μεγάλο κώλυμα εξαιτίας του λεγομένου παραδόξου του Russell (η φύση του συνόλου όλων των κανονικών συνόλων, δηλαδή των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους, το οποίο αν είναι κανονικό τότε είναι μη κανονικό και αν είναι μη κανονικό τότε είναι κανονικό). Το πρόβλημα μιας επαρκούς αξιωματοποίησης της συνολο-θεωρίας υποτίθεται ότι λύθηκε περίπου 20 χρόνια αργότερα από τους Ernst Zermelo και Abraham Fraenkel. Η συνολο-θεωρία Zermelo–Fraenkel μας εφοδιάζει με μια σειρά αρχών που προνοούν για την κατασκευή συνόλων που χρησιμοποιούνται στην καθημερινή πρακτική των μαθηματικών, χωρίς να αποκλείουν σαφώς την πιθανότητα της ύπαρξης ενός συνόλου που ανήκει στον εαυτό του. Στη διδακτορική του διατριβή το 1925, ο von Neumann επέδειξε δυο τεχνικές για τον αποκλεισμό τέτοιων συνόλων – το αξίωμα της θεμελίωσης (axiom of foundation) και την έννοια του συνόλου (notion of class).
Το αξίωμα της θεμελίωσης προτείνει ότι κάθε σύνολο μπορεί να κατασκευαστεί από κάτω προς τα πάνω – σύνολα που γίνονται στοιχεία σε παραπάνω σύνολα – σε μια τακτική διαδοχή βημάτων μέσω των αρχών των Zermelo και Fraenkel. Αν ένα σύνολο ανήκει σε ένα άλλο τότε πρέπει αναγκαία το πρώτο να έρχεται πριν από το δεύτερο στη διαδοχή. Έτσι αποκλείεται η πιθανότητα να ανήκει ένα σύνολο στον εαυτό του. Για να αποδείξει ότι η πρόσθετη αυτού του νέου αξιώματος στα υπόλοιπα δεν παράγει αντιφάσεις, ο von Neumann εισήγαγε μια μέθοδο απόδειξης, την ονομαζόμενη μέθοδο των εσωτερικών μοντέλων (method of inner models), η οποία αργότερα κατέστη ουσιώδες εργαλείο της συνολο-θεωρίας.
Η δεύτερη προσέγγιση όσον αφορά το πρόβλημα των συνόλων που ανήκουν στον εαυτό τους έλαβε ως βάση την έννοια της κλάσης (class), και ορίζει ένα σύνολο ως μια κλάση που ανήκει σε άλλες κλάσεις, ενώ ως κατάλληλη κλάση (proper class) ορίζεται μια κλάση που δεν ανήκει σε άλλες κλάσεις. Σύμφωνα με την προσέγγιση των Zermelo–Fraenkel, τα αξιώματα είναι εκείνα που εμποδίζουν την κατασκευή ενός συνόλου όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους. Αντίθετα, σύμφωνα με την προσέγγιση του von Neumann, η κλάση όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους μπορεί να κατασκευαστεί, αλλά είναι μια κατάλληλη κλάση και όχι σύνολο.
Με αυτή τη συνεισφορά του von Neumann, το αξιωματικό σύστημα της συνολο-θεωρίας αποφεύγει τις αντιφάσεις των προηγούμενων συστημάτων, και απέβη χρήσιμο ως θεμελίωση των μαθηματικών, παρά την έλλειψη της απόδειξης της συνέπειας του (consistency). Το επόμενο ερώτημα ήταν κατά πόσο παρέχει εγκυρότερες απαντήσεις σε όλα τα μαθηματικά ερωτήματα που θα μπορούσαν να τεθούν, ή κατά πόσο θα μπορούσε να βελτιωθεί προσθέτοντας ισχυρότερα αξιώματα, τα οποία θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη μιας ευρύτερης κλάση θεωρημάτων. Μια ισχυρά αρνητική απάντηση στο κατά πόσο το αξιωματικό αυτό σύστημα ήταν εγκυρότερο ήρθε τον Σεπτέμβριο του 1930 στο ιστορική μαθηματική Σύνοδο του Königsberg, όπου ο Kurt Gödel ανακοίνωσε το πρώτο του θεώρημα της μη πληρότητας (incompleteness theorem): τα συνήθη αξιωματικά συστήματα είναι μη πλήρη (incomplete), με την έννοια ότι δεν μπορούν να αποδείξουν κάθε αληθή πρόταση που εκφράζεται στη γλώσσα τους. Επιπρόσθετα, κάθε συνεπής επέκταση αυτών των συστημάτων παραμένει αναγκαία μη πλήρης. Σε διάστημα λιγότερο από ένα μήνα από τη Σύνοδο, ο von Neumann, επικοινώνησε με τον Gödel για να του ανακοινώσει μια ενδιαφέρουσα συνέπεια του θεωρήματός του, που είχε εκείνος αποδείξει: ότι τα συνήθη αξιωματικά συστήματα δεν είναι δυνατόν να αποδείξουν την ιδία τους συνέπεια (consistency). Αλλά ο Gödel είχε ήδη ανακαλύψει τη συνέπεια του πρώτου του θεωρήματος, τώρα γνωστή ως δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας και έστειλε στον von Neumann μια προεκτύπωση του άρθρου του, το οποίο περιείχε και τα δυο θεωρήματα της μη πληρότητας. Ο Von Neumann αναγνώρισε την προτεραιότητα του Gödel στην επόμενη επιστολή του.
Ο Von Neumann ήταν ο πρώτος που θεμελίωσε ένα αυστηρό μαθηματικό πλαίσιο για την κβαντομηχανική, γνωστό ως αξιώματα Dirac–von Neumann, με το έργο του 1932: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Μετά τη συμπλήρωση της αξιωματοποίησης της συνολο-θεωρίας, άρχισε να έρχεται αντιμέτωπος με την αξιωματοποίηση της κβαντομηχανικής. Συνειδητοποίησε το 1926, ότι μια κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα σημείο του μιγαδικού χώρου που στη γενική περίπτωση μπορεί να είναι απειρο-διάστατος ακόμη και για ένα μόνο σωματίδιο. Σε αυτή την τυποποίηση της κβαντομηχανικής, οι παρατηρήσιμες ποσότητες όπως η θέση ή η ορμή αναπαρίστανται ως γραμμικοί τελεστές δρώντες στον χώρο Hilbert που είναι συνδεδεμένος με το κβαντικό σύστημα.
Με αυτόν τον τρόπο έγινε αναγωγή της φυσικής της κβαντομηχανικής στα μαθηματικά των χώρων και των γραμμικών τελεστών που δρουν πάνω σε αυτούς. Για παράδειγμα, η αρχή τα απροσδιοριστίας, σύμφωνα με την οποία ο καθορισμός της θέσης ενός σωματιδίου αποτρέπει τον καθορισμό της ορμής του και αντιστρόφως, μεταφράζεται στην μη αντιμεταθικότητα των δυο μη σχετικών τελεστών. Η νέα μαθηματική τυποποίηση είχε τέτοια δύναμη και πληρότητα ώστε περιελάμβανε ως ειδικές περιπτώσεις τις τυποποιήσεις και του Heisenberg και του Schrödinger.
Η αφηρημένη αυτή μαθηματική μεταχείριση από τον Von Neumann της κβαντικής πραγματικότητας του επέτρεψε επίσης να αντιμετωπίσει το θεμελιακό ζήτημα του ντετερμινισμού-προκαθορισμού έναντι του μη ντετερμινισμού-απροσδιοριστίας, και στο βιβλίο του παρουσιάζει μια απόδειξη ότι τα στατιστικά αποτελέσματα της κβαντομηχανικής δεν μπορούν να είναι μέσοι όροι ενός υποκείμενου συνόλου καθορισμένων κρυμμένων μεταβλητών (hidden variables), όπως συμβαίνει στην κλασική στατιστική μηχανική. Η απόδειξη του Von Neumann ξεκίνησε μια γραμμή έρευνας που τελικά οδήγησε, μέσω του θεωρήματος του Bell το 1964 των πειραμάτων του Alain Aspect το 1982, στην απόδειξη ότι η κβαντική φυσική είτε απαιτεί μια έννοια πραγματικότητας ουσιωδώς διαφορετική από αυτήν της κλασικής φυσικής, είτε πρέπει να περιλάβει ως ισχύουσα την μη τοπικότητα (nonlocality) με προφανή παραβίαση της ειδικής σχετικότητας.
Σε ένα κεφάλαιο του The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, ο von Neumann ανέλυσε βαθιά το ονομαζόμενο πρόβλημα της μέτρησης (measurement problem). Συμπέρανε ότι το συνολικό φυσικό σύμπαν μπορεί να γίνει υποκείμενο στην παγκόσμια κυματοσυνάρτηση. Επειδή κάτι εκτός υπολογισμού (outside the calculation) ήταν αναγκαίο για να καταρρεύσει η κυματοσυνάρτηση (wave function collapse), ο von Neumann συμπέρανε ότι η κατάρρευση προκαλείται από τη συνείδηση του πειραματιστή. Ο Von Neumann θεωρούσε ότι τα μαθηματικά της κβαντομηχανικής επιτρέπουν την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης να τοποθετείται σε οποιαδήποτε θέση στην αιτιακή αλυσίδα από την συσκευή μέτρησης στην υποκειμενική συνείδηση (subjective consciousness) του ανθρώπου παρατηρητή. Παρότι αυτή η οπτική έγινε δεκτή από τον Eugene Wigner, η ερμηνεία Von Neumann–Wigner δεν έγινε ποτέ αποδεκτή από την πλειοψηφία των φυσικών. Η ερμηνεία Von Neumann–Wigner μπορεί να συνοψιστεί ως εξής: Οι κανόνες της κβαντομηχανικής είναι σωστοί αλλά υπάρχει μόνο ένα σύστημα που μπορεί να μεταχειριστεί η κβαντομηχανική, τον συνολικό υλικό κόσμο. Υπάρχουν εξωτερικοί παρατηρητές που δεν μπορούν να υπεισέλθουν στην κβαντομηχανική, που είναι οι ανθρώπινοι (και ίσως οι ζωικοί) νόες, που πραγματοποιούν μετρήσεις με τη βοήθεια του μυαλού τους, προκαλώντας έτσι κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης.
Ο Von Neumann αρχικά πρότεινε μια κβαντική λογική (quantum logic) στην διατριβή του 1932 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, όπου σημείωσε ότι οι προβολές στον χώρο Hilbert μπορούν να ιδωθούν ως προτάσεις για φυσικά παρατηρήσιμα. Το πεδίο της κβαντικής λογικής εγκαινιάστηκε σε ένα ονομαστό άρθρο του 1936 των Von Neumann και Garrett Birkhoff, όπου οι δυο επιστήμονες επέδειξαν ότι η κβαντική μηχανική απαιτεί ένα προτασιακό λογισμό ουσιωδώς διαφορετικό από όλες τις κλασικές λογικές και διέκριναν μια νέα αλγεβρική δομή ειδικά για την κβαντική λογικές. Η ανάγκη για ένα νέο προτασιακό λογισμό φάνηκε μέσα από πολλές αποδείξεις. Για παράδειγμα, τα φωτόνια δεν μπορούν να περάσουν μέσω δυο διαδοχικών φίλτρων πολωμένων κάθετα μεταξύ τους (π.χ. το ένα οριζόντιας πόλωσης και το άλλο κατακόρυφης), και συνεπώς κατά μείζονα λόγο, δεν μπορεί να περάσει αν προστεθεί ένα ακόμη φίλτρο διαγώνιας πόλωσης είτε πριν είτε μετά από αυτά τα δυο προηγούμενα φίλτρα. Κι όμως αν το τρίτο αυτό φίλτρο μπει ανάμεσα στα δυο προηγούμενα τα φωτόνια (ανεξήγητα για την κλασική μας λογική) διέρχονται.
Αυτό το πειραματικό γεγονός μεταφράζεται σε λογικό φορμαλισμό ως μη αντιμεταθετικότητα της σύζευξης A ∧ Β ≠ B ∧ Α. Αλλά και οι επιμεριστικοί νόμοι της κλασικής λογικής: P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) και P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R παύουν να ισχύουν στην κβαντική θεωρία. Αυτό συμβαίνει γιατί η κβαντική διάζευξη, σε αντίθεση με την κλασική διάζευξη, μπορεί να είναι αληθής ακόμη και όταν και οι δυο όροι τη διάζευξης είναι ψευδείς, το οποίο οφείλεται στο ότι στην κβαντομηχανική υπάρχει συχνά η περίπτωση ένα ζεύγος εναλλακτικών να είναι σημασιολογικά ορισμένο ενώ κάθε μέλος του ζεύγους είναι κατ’ ανάγκη απροσδιόριστο. Η τελευταία αυτή ιδιότητα μπορεί να παρασταθεί από το εξής παράδειγμα. Έστω ότι η κατάσταση ɸ ενός συγκεκριμένου ηλεκτρόνιου ικανοποιεί την πρόταση ‘το σπιν του ηλεκτρονίου στον άξονα x είναι θετικό’. Βάσει της αρχής της απροσδιοριστίας η τιμή του σπιν στον άξονα y θα είναι απόλυτα απροσδιόριστη σε συνάρτηση με την ɸ. Οπότε, η ɸ δεν συμβαδίζει ούτε με την πρόταση ‘το σπιν του ηλεκτρονίου στον άξονα y είναι θετικό’, ούτε με την πρόταση ‘το σπιν του ηλεκτρονίου στον άξονα y είναι αρνητικό’. Εν τούτοις η διάζευξη των δυο προτάσεων ‘το σπιν του ηλεκτρονίου στον άξονα y είναι θετικό’, και ‘το σπιν του ηλεκτρονίου στον άξονα y είναι αρνητικό’ είναι σίγουρα αληθής. Τότε η κλασική επιμεριστικότητα δίνει Α ∧ (Β ∨ C) = A ∧ 1 = A, ενώ (A ∧ Β) ∨ (A ∧ C) = 0 ∨ 0 =0.
Ο Von Neumann είναι εκτός των άλλων και ο θεμελιωτής της αρχιτεκτονικής των ηλεκτρονικών υπολογιστών (Von Neumann architecture ή Princeton architecture). Περιέγραψε το 1945 την αρχιτεκτονική ενός ηλεκτρονικού ψηφιακού υπολογιστή με τα εξής μέρη: μια μονάδα επεξεργασίας (processing unit) που περιέχει μια αριθμητική λογική ομάδα (arithmetic logic/ ALU) και καταχωρητές (processor registers), μια μονάδα ελέγχου (control unit) που περιέχει ένα καταχωρητή εντολών (instruction register) και ένα μετρητή προγράμματος (program counter/ PC), μια μνήμη (memory) για την αποθήκευση τόσο των δεδομένων όσο και των εντολών, εξωτερικό χώρο μαζικής αποθήκευσης (external mass storage), και μηχανισμούς εισόδου/ εξόδου (input and output mechanisms). Στην αρχιτεκτονική αυτή η ανάκληση μιας εντολής (instruction fetch) και μια πράξη δεδομένων (data operation) δεν μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, καθώς συμμερίζονται τον ίδιο δίαυλο (bus). Η σχεδίαση αυτή του Von Neumann είναι η πρωταρχική σχεδίαση ενός σύγχρονου υπολογιστή γενικού σκοπού, η οποία στη συνέχεια έδωσε τη θέση της στην αρχιτεκτονική Harvard, όπου είναι αφιερωμένο ένα σύνολο διαύλων διευθύνσεων και δεδομένων (address and data buses) για την ανάγνωση και καταχώριση δεομένων στη μνήμη και ένα άλλο διαφορετικό σύνολο για την ανάκληση των εντολών (fetching instructions).
Ο Von Neumann ήταν παιδί θαύμα. Όταν ήταν 8 ετών, μπορούσε να διαιρεί δυο 8-ψήφιους αριθμούς από μνήμης και επίσης μπορούσε να συνομιλεί στα Αρχαία Ελληνικά. Ο Von Neumann ήταν επίσης ονομαστός για την φωτογραφική του μνήμη. Γράφει σχετικά ο Herman Goldstine: “Μια από τις πλέον αξιοσημείωτες ικανότητές του ήταν η δυνατότητα απόλυτης ανάκλησης. Μπορούσε να διαβάσει μόνο μια φορά ένα βιβλίο και μετά να το μνημονεύσει λέξη προς λέξη. Και το εκπληκτικό είναι ότι μπορούσε αυτό να το κάνει και μετά από χρόνια χωρίς δισταγμό. Σε μια περίπτωση εξέτασα την ικανότητά του ρωτώντας τον να μου πει πώς αρχίζει το μυθιστόρημα A Tale of Two Cities. Αμέσως, χωρία καμία παύση, άρχισε να απαγγέλλει το πρώτο κεφάλαιο και συνέχισε μέχρις ότου το ζήτησα να σταματήσει μετά από 10 με 15 λεπτά”. Επίσης ο Von Neumann ήταν ικανός σύμφωνα με πολλές μαρτυρίες να απομνημονεύει τις σελίδες τηλεφωνικών καταλόγων. Διασκέδαζε τους φίλους του ζητώντας τους να τον ρωτούν τυχαία κάποιο αριθμό σελίδας, οπότε εκείνος τους παρέθετε όλα τα ονόματα, διευθύνσεις και αριθμούς τηλεφώνων.
Ο Von Neumann είχε πάθος σε όλη τη ζωή για την αρχαία ιστορία, όντας διάσημος για τις θαυμαστές του ιστορικές γνώσεις. Ένας καθηγητής της Βυζαντινής ιστορίας στο Princeton είχε δηλώσει ότι ο von Neumann είχε μεγαλύτερη ειδημοσύνη απ’ αυτόν στη Βυζαντινή ιστορία. Στο Princeton, του έκαναν συχνά πειράματα γιατί έβαζε πολύ δυνατά Γερμανική μουσική παρελάσεων στο γραμμόφωνο που αποσπούσε τους εργαζόμενους στα διπλανά γραφεία από τη δουλειά τους, συμπεριλαμβανομένου του Albert Einstein. Ο Von Neumann έκανε τις σημαντικότερες εργασίες του σε θορυβώδες χαοτικό περιβάλλον και μια φορά επέπληξε τη γυναίκα του που του είχε προετοιμάσει ένα ήσυχο περιβάλλον εργασίας. Δεν το χρησιμοποίησε ποτέ προτιμώντας το living room με την τηλεόραση ανοιγμένη τέρμα. Αν και ήταν πολύ κακός οδηγός, εν τούτοις απολάμβανε την οδήγηση, συχνά διαβάζοντας παράλληλα ένα βιβλίο, καταλήγοντας σε πολλά ατυχήματα και συλλήψεις.
Ο Von Neumann θεωρούσε ότι πολλές από τις μαθηματικές του ανακαλύψεις συνέβαιναν διαισθητικά, συχνά μάλιστα έπεφτε να κοιμηθεί με ένα άλυτο πρόβλημα και μάθαινε τη λύση του στο ξύπνημα.
Ο νομπελίστας Hans Bethe έλεγε: "Μερικές φορές αναρωτιόμουν μήπως ένα μυαλό σαν του von Neumann δείχνει ένα είδος ανώτερο από αυτό του ανθρώπου ", και αργότερα έγραψε ότι "το μυαλό του [von Neumann] δείχνει ένα νέο είδος, μια εξέλιξη πέραν του ανθώπου ".
Όταν αρρώστησε δεν μπορούσε να αποδεχθεί το επερχόμενο τέλος του και η σκιά του επικείμενου θανάτου του ενστάλαξε μέγα φόβο. Κάλεσε μάλιστα ένα Καθολικό ιερέα για να τον συμβουλευτεί. Ο Von Neumann του απάντησε: "Από τη στιγμή που υπάρχει η πιθανότητα της αιώνιας καταδίκης για τους άπιστους, είναι πιο λογικό τελικά να γίνεις πιστός", ακολουθώντας ουσιαστικά το στοίχημα του Pascal. Είχε προηγουμένως εκμυστηρευτεί στη μητέρα του: "Πιθανόν πρέπει να υπάρχει θεός. Πολλά πράγματα εξηγούνται ευκολότερα αν υπάρχει παρά αν δεν υπάρχει".
