Pierre de Fermat (between 31 Oct and 6 Dec 1607 - 12 Jan 1665) was a French lawyer and one of the most prominent mathematicians of all time. He is credited for early discoveries that led to infinite calculus, including the adequality technique. In particular, he is recognized for discovering an original method of finding the largest and smallest coordinate curves, which is analogous to that of differential calculus, then unknown, and for his research in number theory.
He also contributed significantly to analytical geometry, probability and optics. He is best known for today's Fermat's principle of light propagation and the famous Fermat's Last Theorem in number theory, who described it with a note on a margin of a copy of Diophantus's Arithmetic
Fermat's Last Theorem or Fermat's Conjecture says that there are no 3 positive integers a, b, c that satisfy the equation:
a ^ n + b ^ n = c ^ n, for any n> 2.
Ελληνική εκδοχή
Ο Pierre de Fermat (μεταξύ 31 Οκτ και 6 Δεκ 1607 – 12 Ιαν 1665) ήταν Γάλλος δικηγόρος και ένας από τους επιφανέστερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Πιστώνεται για πρώιμες ανακαλύψεις που οδήγησαν στον απειροστικό λογισμό, περιλαμβανομένης και της τεχνικής adequality. Πιο συγκεκριμένα, αναγνωρίζεται για την ανακάλυψη μιας πρωτότυπης μεθόδου για την εύρεση των μεγαλύτερων και μικρότερων συντεταγμένων καμπυλών, η οποία είναι ανάλογη με αυτήν του διαφορικού λογισμού, άγνωστου τότε, καθώς και για την έρευνά του στη θεωρία των αριθμών. Συνεισέφερε επίσης σημαντικά στην αναλυτική γεωμετρία, τις πιθανότητες και την οπτική. Είναι κυρίως γνωστός για την ονομαζόμενη σήμερα αρχή του Fermat (Fermat's principle) για τη διάδοση του φωτός και το περίφημο Τελευταίο Θεώρημα του Fermat στη θεωρία των αριθμών, που το περιέγραψε με μια σημείωση σε ένα περιθώριο ενός αντίγραφου των Αριθμητικών του Διόφαντου.
Μιλούσε άπταιστα έξι γλώσσες: Γαλλικά, Λατινικά, Οξιτανικά, κλασικά Ελληνικά, Ιταλικά και Ισπανικά. Έγραψε στίχους σε διάφορες γλώσσες και η γνώμη του εζητείτο για την διόρθωση των ελληνικών κειμένων.
Επικοινώνησε το μεγαλύτερο μέρος του έργου του σε φιλικές επιστολές, συχνά με λίγη ή και καθόλου απόδειξη των θεωρημάτων του. Σε μερικές από αυτές εκδιπλώνει πολλές από τις θεμελιώδεις ιδέες του λογισμού πριν από τον Newton και τον Leibniz. Ο Fermat ήταν ενεργός δικηγόρος και είχε τα μαθηματικά σαν χόμπι και όχι επαγγελματικά. Η απόκρυψη ήταν κανόνας στους Ευρωπαϊκούς μαθηματικού κύκλους του καιρού του, κατάσταση που οδήγησε, όπως ήταν φυσικό, σε διαμάχες προτεραιότητας, όπως με τον Descartes και τον Wallis.
Ο Anders Hald αναφέρει: "Η βάση των μαθηματικών του Fermat ήταν οι κλασικές ελληνικές πραγματείες συνδυασμένες με τις νέες αλγεβρικές μεθόδους του Vieta".
Η πρωτοποριακή εργασία του Fermat στην αναλυτική γεωμετρία Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum κυκλοφορούσε σε μορφή χειρογράφου το 1636 (βασισμένη στα αποτελέσματα του 1629), πριν από τη δημοσίευση του Descartes: La géométrie (1637), που εκμεταλλεύτηκε την εργασία. Αυτό το χειρόγραφο εκδόθηκε μετά θάνατον το 1679 στο Varia opera mathematica, ως Εισαγωγή στα Επίπεδα και Στερεά Τοπικά (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge).
Στη Methodus, ο Fermat ανέπτυξε την μέθοδο της adequality (της προσεγγιστικής ισότητας) για τον προσδιορισμό μεγίστων, ελαχίστων και εφαπτομένων σε διάφορες καμπύλες, μια μέθοδο ισοδύναμη με τον διαφορικό λογισμό. Στις εργασίες αυτές ο Fermat ανακάλυψε μια τεχνική για την εύρεση των κέντρων βάρους διαφόρων επίπεδων και στερεών σχημάτων, που οδήγησε στο περαιτέρω έργο του για τον τετραγωνισμό.
Ο Fermat ήταν το πρώτο πρόσωπο που υπολόγισε το ολοκλήρωμα των γενικών συναρτήσεων των δυνάμεων (general power functions). Με τη μέθοδό του, ήταν δυνατόν να ανάγει τον υπολογισμό σε ένα άθροισμα γεωμετρικής σειράς. Ο τύπος που προέκυψε ήταν βοηθητικός για τον Νεύτωνα και εν συνεχεία για τον Leibniz, που ανέπτυξαν ανεξάρτητα τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό.
Στη θεωρία των αριθμών, ο Fermat μελέτησε τις εξισώσεις του Pell, τους τέλειους αριθμούς/ perfect numbers (κάθε αριθμός που ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του πχ. 6), τους φιλικούς αριθμούς/ amicable numbers (όταν ο κάθε αριθμός από τους δυο ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου πχ. 220 και 284) και τους αριθμούς Fermat:
Fn=2^2^n+1, όπως 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, …
Καθώς ερευνούσε τους τέλειους αριθμούς ανακάλυψε το Μικρό Θεώρημα του Fermat (Fermat’s Little Theorem), το οποίο λέει ότι για κάθε ακέραιο αριθμό a και πρώτο αριθμό p, ισχύει ότι:
a^(p-1)-1 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του p
πχ. για a=2 και p=7 τότε 2^6-1=63=9.7
Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat (Fermat’s Last Theorem) ή Εικασία του Fermat (Fermat’s Conjecture) λέει ότι δεν υπάρχουν 3 θετικοί ακέραιοι a, b, c που να ικανοποιούν την εξίσωση:
a^n+b^n=c^n, για οποιοδήποτε n>2. Οι περιπτώσεις n = 1 and n = 2 ήταν ήδη γνωστό από την αρχαιότητα ότι έχουν άπειρες λύσεις.
Η πρόταση αυτή υποτέθηκε για πρώτη φορά από τον Fermat το 1637 στο περιθώριο ενός αντιγράφου των Αριθμητικών του Διόφαντου. Ο Fermat μάλιστα πρόσθεσε ότι έχει την απόδειξή του αλλά δεν χωρά στο περιθώριο. Υπάρχουν όμως αμφιβολίες ότι είχε όντως τη σωστή απάντηση. Πολλοί μαθηματικοί, μεταξύ των οποίων και ο Gauss, αμφέβαλλαν για τους ισχυρισμούς του για διάφορες υποτιθέμενες αποδείξεις του, δεδομένης της αντικειμενικής τους δυσκολίας σε συνδυασμό με τα περιορισμένα μαθηματικά μέσα που ήταν διαθέσιμα την εποχή του Fermat. Μετά από 358 χρόνια προσπαθειών, η πρώτη επιτυχής απόδειξη (γιατί μέχρι τότε είχαν προταθεί πολλές αποδείξεις οι οποίες αποδείχθηκαν στη συνέχεια εσφαλμένες) δόθηκε το 1994 από τον Andrew Wiles, και εκδόθηκε τυπικά το 1995. Παρουσιάστηκε ως εντυπωσιακή εξέλιξη κατά την απονομή στον Wiles του βραβείου Abel το 2016. Στην γραμμή απόδειξης του Wiley αποδεικνύεται αρχικά ένα μεγάλο μέρος του modularity theorem, που άνοιξε νέες προσεγγίσεις σε πολυάριθμα άλλα προβλήματα και ισχυρές μαθηματικές τεχνικές. Γενικά το προκλητικό αυτό πρόβλημα που αντιστεκόταν σθεναρά στην επίλυσή του έδωσε τα ερεθίσματα για την ανάπτυξη της θεωρίας των αλγεβρικών αριθμών (algebraic number theory) κατά τον 19ο αιώνα και για την απόδειξη του modularity theorem τον 20ο αιώνα.
Το θεώρημα πολυγωνικών αριθμών του Fermat (Fermat’s polygonal number theorem) λέει ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι άθροισμα το πολύ n n-πολυγωνικών αριθμών. Στα μαθηματικά, n-πολυγωνικός αριθμός είναι ένας αριθμός που ισούται με το σύνολο των σημείων που μπορούν να διευθετηθούν στο σχήμα ενός κανονικού n-πολύγωνου. Οι τριγωνικοί, τετραγωνικοί, πενταγωνικοί, εξαγωνικοί αριθμοί φαίνονται στα σχετικά σχήματα.
Triagonal and square nunmbers
Pentagonal and hexagonal nunmbers
Κατά το θεώρημα λοιπόν, κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα 3 ή λιγότερων τριγωνικών αριθμών, επίσης ως το άθροισμα 4 ή λιγότερων τετραγωνικών αριθμών, επίσης ως το άθροισμα 5 ή λιγότερων πενταγωνικών αριθμών κ.ο.κ.
πχ. ο αριθμός 17:
17 = 10 + 6 + 1 (τριγωνικοί αριθμοί)
17 = 16 + 1 (τετραγωνικοί αριθμοί)
17 = 12 + 5 (πενταγωνικοί αριθμοί).
Το θεώρημα εκτέθηκε για πρώτη φορά χωρίς απόδειξη από τον Fermat το 1638, υποσχόμενος ότι θα γράψει την απόδειξη σε ένα ξεχωριστό έργο, πράγμα που δεν έγινε ποτέ. Ο Joseph Louis Lagrange απέδειξε την περίπτωση των τετραγωνικών αριθμών το 1770, πχ. 7 = 4 + 1 + 1 + 1. Ο Gauss απέδειξε την περίπτωση των τριγωνικών αριθμών το 1796, καταγράφοντας το γεγονός στο ημερολόγιό του με τη φράση: ‘ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ’, και δημοσίευσε την απόδειξη στο βιβλίο του Disquisitiones Arithmeticae. Γι’ αυτόν τον λόγο το θεώρημα της τριγωνικής περίπτωσης είναι γνωστό και ως Eureka theorem. Το γενικό θεώρημα αποδείχθηκε από τον Cauchy το 1813.
Η αλληλογραφία το 1654, μεταξύ των Fermat και Blaise Pascal έθεσε τις βάσεις για τη θεωρία πιθανοτήτων, της οποίας θεωρούνται συν-θεμελιωτές. Ο Fermat είναι ο πρώτος που έκανε αυστηρούς υπολογισμούς πιθανοτήτων. Ρωτήθηκε από ένα επαγγελματία παίχτη γιατί αν στοιχηματίζει κάποιος σε μια τουλάχιστον 6άρα σε 4 ριξιές του ζαριού οπωσδήποτε μακροπρόθεσμα κερδίζει, ενώ στοιχηματίζοντας σε μια τουλάχιστον διπλή 6άρα σε 24 ριξιές των 2 ζαριών μακροπρόθεσμα χάνει. Ο Fermat απέδειξε μαθηματικά τις παραπάνω περιπτώσεις.
Στα Κατοπτρικά του Ευκλείδη, καθορίζεται η πορεία του ανακλώμενου φωτός σε ένα κάτοπτρο, τέτοια ώστε η γωνία ανάκλασης να είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης. Ο Ήρων Αλεξανδρείας στη συνέχεια έδειξε ότι το μονοπάτι αυτό αντιστοιχεί στον συντομότερο δρόμο και τον μικρότερο χρόνο. Ο Fermat εκλέπτυνε και γενίκευσε την αρχή ως "το φως ταξιδεύει μεταξύ δυο δεδομένων σημείων ακολουθώντας τον μικρότερο χρόνο", γνωστή σήμερα ως αρχή του ελάχιστου χρόνου (principle of least time). Γι’ αυτό ο Fermat αναγνωρίζεται ως κεντρική προσωπικότητα στην ιστορική ανάπτυξη της θεμελιώδους αρχής της ελάχιστης δράσης στη φυσική.
