Christian Felix Klein (25 April 1849 - 22 June 1925) was a German mathematician known for his work in group theory, the complex analysis (complex analysis), non-Euclidean geometry and the links between geometry and group theory. His work Erlangen Program (1872), which classified geometries through the basic symmetry groups, had a huge impact on the mathematics of his time.
Klein devised the so-called Klein bottle , a closed surface of a face that cannot be incorporated into the 3D Euclidean space, but which can be integrated as a cylinder wrapped around itself, finding its other end from the 'inside'. However, it can be incorporated into the Euclidean space of 4 or more dimensions. The idea of Klein Bottle was conceived as a three-dimensional Möbius strip, with a construction method connecting the edges of two Möbius strips.
Ελληνική εκδοχή
Ο Christian Felix Klein (25 April 1849 – 22 June 1925) ήταν Γερμανός μαθηματικός, γνωστός από το έργο του στη θεωρία ομάδων (group theory), τη μιγαδική ανάλυση (complex analysis), τη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία και στις συνδέσεις μεταξύ γεωμετρίας και θεωρίας ομάδων. Το έργο του Erlangen Program (1872), που ταξινομούσε τις γεωμετρίες μέσω των βασικών ομάδων συμμετρίας είχε τεράστια απήχηση στα μαθηματικά του καιρού του.
Στο πλαίσιο της διατριβής του, πάνω στη γεωμετρία των γραμμών (line geometry) και τις εφαρμογές της στη μηχανική, ο Klein ταξινόμησε σύνθετα γραμμών (line complexes) δευτέρου βαθμού, χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Weierstrass των στοιχειωδών διαρετών (elementary divisors).
Οι πρώτες σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις του Klein έγιναν κατά τα 1870. Σε συνεργασία με τον Sophus Lie, ανακάλυψε τις θεμελιώδεις ιδιότητες των ασυμπτωτικών γραμμών στην επιφάνεια Kummer. Ανακάλυψαν αργότερα τις W-curves, καμπύλες που είναι αμετάβλητες κάτω από μια ομάδα προβολικών μετασχηματισμών. Ήταν ο Lie που εισήγαγε τον Klein στην ιδέα της ομάδας (concept of group), που επρόκειτο να έχει σημαίνοντα ρόλο στο μετέπειτα έργο του. Ο Klein έμαθε επίσης για τις ομάδες από τον Camille Jordan.
Ο Klein επινόησε το ονομασθέν από εκείνον Klein bottle, μια κλειστή επιφάνεια μιας όψης που δεν μπορεί να ενσωματωθεί στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, αλλά το οποίο μπορεί να ενταχθεί ως ένας κύλινδρος που τυλίγεται γύρω από τον εαυτό του ξαναβρίσκοντας το άλλο άκρο του από τα ‘μέσα’. Μπορεί όμως να ενσωματωθεί στον Ευκλείδειο χώρο 4 και πάνω διαστάσεων. Η ιδέα του Klein Bottle επινοήθηκε ως μια τρισδιάστατη λωρίδα Möbius (Möbius strip), με μια μέθοδο κατασκευής τη σύνδεση των ακμών δυο λωρίδων Möbius.
Klein's bottle
Κατά τη διάρκεια των 1890, ο Klein άρχισε να μελετά μαθηματική φυσική με μεγαλύτερη ένταση, γράφοντας σχετικά με το γυροσκόπιο με τον Arnold Sommerfeld. Το 1894, ξεκίνησε την ιδέα του για μια εγκυκλοπαίδεια των μαθηματικών, περιλαμβανομένων των εφαρμογών τους, που κατέληξε στην Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Η επιχείρηση αυτή που κράτησε μέχρι το 1935, κατέληξε σε μια σημαντική πρότυπη αναφορά διαχρονικής αξίας.
Κατά το 1871, όσο ήταν στο Göttingen, ο Klein έκανε μείζονες ανακαλύψεις στη γεωμετρία. Εξέδωσε δυο άρθρα επί της ονομαζόμενης Non-Euclidean Geometry, δείχνοντας ότι οι Ευκλείδειες και οι μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες μπορούν να θεωρηθούν ως μετρικοί χώροι που διέπονται από την μετρική Cayley-Klein. Η οπτική αυτή είχε ως πόρισμα ότι η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία είναι συνεπής αν και μόνο αν η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι συνεπής, δίνοντας έτσι το ίδιο στάτους στις Ευκλείδειες και τις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες και τερματίζοντας όλες τις αμφισβητήσεις για την μη-Ευκλείδεια γεωμετρία. Ο Arthur Cayley δεν αποδέχθηκε ποτέ το επιχείρημα του Klein, θεωρώντας το ως κυκλικό.
Η σύνθεση της γεωμετρίας του Klein ως μελέτη των ιδιοτήτων ενός χώρου που είναι αμετάβλητος σε μια δεδομένη ομάδα μετασχηματισμών, γνωστή ως Erlangen Program (1872), επηρέασε βαθιά την εξέλιξη των μαθηματικών. Αυτό το πρόγραμμα ξεκίνησε από την εναρκτήρια διάλεξη του Klein, ως καθηγητή στο Erlangen, αν και δεν ήταν ακριβώς η ομιλία που έδωσε στην περίσταση αυτή. Το πρόγραμμα πρότεινε ένα ενοποιημένο σύστημα γεωμετρίας που κατέστη η αποδεκτή σύγχρονη μέθοδος. Ο Klein έδειξε πώς οι ουσιώδεις ιδιότητες μιας δεδομένης γεωμετρίας μπορούν να αναπαρασταθούν από την ομάδα των μετασχηματισμών που διατηρούν αυτές τις ιδιότητες. Έτσι ο ορισμός της γεωμετρίας στο πλαίσιο του προγράμματος περιέλαβε τόσο την Ευκλείδεια όσο και τη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία.>br>
Σήμερα η σημασία των συνεισφορών του Klein στη γεωμετρία είναι περισσότερο από προφανής, διότι έχουν γίνει τόσο μέρος του παρόντος μαθηματικού τρόπου σκέψης ώστε να είναι δύσκολο να εκτιμήσουμε την καινοτομία τους και την δυσκολία με την οποία οι συνεισφορές του αυτές έγιναν δεκτές από τους συγχρόνους του.
